그래프 균형 맞추기 timer 2초 memory 1024MB

 N개의 정점과 M개의 간선으로 구성된 무방향 단순 연결 그래프가 있다. 

그래프의 정점들에는 1 이상 N 이하의 서로 다른 자연수 번호가 붙어 있고, 

간선들에는 1 이상 M 이하의 서로 다른 자연수 번호가 붙어 있다.

 j (1 ≤ j ≤ M)번 간선은 a_j번 정점과 b_j번 정점을 연결하며, 정수 가중치 c_j가 붙어 있다.

당신은 모든 정점에 정수 가중치를 부여해야 한다. i (1 ≤ i ≤ N)번 정점에 부여할 가중치를 xi라고 하자.

정점에 가중치를 부여하는 총 비용은 각 정점의 가중치의 절댓값의 합, 즉 \left|x_1\right|+\left|x_2\right|+\cdots\left|x_N\right| = \displaystyle \sum^N_{i=1}\left|x_i\right|​과 같다.

 그래프의 균형이 맞으려면, 각 간선이 연결하고 있는 두 정점의 가중치의 합이 간선의 가중치와 같아야 한다. 즉, 모든 j (1 ≤ j ≤ M)에 대해, x_{aj} + x_{bj}이 c_j와 같아야 한다.

 예를 들어, 아래와 같이 5개의 정점과 4개의 간선으로 이루어진 그래프를 생각하자. 그림에서 정점을 나타내는 원 안에 적힌 수는 정점의 번호이고, 간선을 나타내는 선에 적힌 수는 간선에 붙은 가중치이다.

 아래의 그림과 같이 각 정점에 [2, -7, 3, -5, 0]의 가중치를 부여해서, 각 간선이 연결하고 있는 두 정점의 가중치의 합이 간선의 가중치와 같게 할 수 있다. 아래 그림에서 정점을 나타내는 원 안에 적힌 수는 정점의 가중치이다.

 총 비용은 |2| + | − 7| + |3| + | − 5| + |0| = 2 + 7 + 3 + 5 + 0 = 17이다. 총 비용을 17보다 작게 할 수 있는 방법은 없기 때문에, 위 방법은 총 비용을 최소화하는 방법이다.

아래와 같이 각 정점에 [6, -3, -1, -9, 4]의 가중치를 부여해도 균형이 맞는 그래프가 되지만, 이 경우 총 비용은 17보다 큰 23이 되기 때문에 아래 방법은 총 비용을 최소화하는 방법이 아니다.

그래프의 균형이 맞도록 정점에 가중치를 부여하는 것이 가능한지 확인하고, 가능하다면 그 중 총 비용을 최소화하는 방법을 하나 구하는 프로그램을 작성하라.

참고

|x|는 x < 0이면 −x, x ≥ 0이면 x인 절댓값 기호이다.

제약 조건

• 주어지는 모든 수는 정수이다.

• 2 ≤ N ≤ 100,000

• 1 ≤ M ≤ 200,000

• 모든 j (1 ≤ j ≤ M)에 대해:

  • 1 ≤ a_j ≤ N, 1 ≤ b_j ≤ N

  • a_j ≠ b_j . 즉, 서로 같은 두 정점을 연결하는 간선은 없다.

  • −1,000,000 ≤ c_j ≤ 1,000,000

• 모든 j, k (1 ≤ j < k ≤ M)에 대해, {a_j , b_j} ≠ {a_j, b_j}.   즉, 서로 다른 두 정점 쌍 (a, b)를 잇는 간선은 많아야 한 개 존재한다.

• 그래프는 연결 그래프이다.   즉, 그래프에서 어떤 두 정점을 골라도, 간선들을 통해 두 정점을 직, 간접적으로 잇는 경로가 존재한다.