공통 괄호 문자열 사전

(와 )만으로 이루어진 두 문자열 A, B와 자연수 K가 주어진다.

A의 부분 문자열이면서 B의 부분 문자열이고, 올바른 괄호열인 서로 다른 문자열들의 집합을 S(A, B)라고 하자.

S(A, B)의 크기가 K 이상인지 판별하고, 만약 크기가 K 이상이라면 S(A, B)를 사전 순으로 정렬했을 때

K번째 문자열을 구하는 프로그램을 작성하라.

하나의 입력 데이터에서 T개의 테스트 케이스를 해결해야 한다.

참고

올바른 괄호열의 정의

올바른 괄호열이란 다음과 같이 정의된다.

• 한 쌍의 괄호로만 이루어진 문자열 ()는 올바른 괄호열이다.

• X가 올바른 괄호열이면, X를 괄호로 감싼 (X)도 올바른 괄호열이다.

• X와 Y 가 올바른 괄호열이면, X와 Y 를 이어 붙인 XY 도 올바른 괄호열이다.

• 모든 올바른 괄호열은 위 세 가지 규칙을 통해서만 만들어진다.

예를 들어 (()(()))나 (())()()는 올바른 괄호열이지만, (()나 )((()()은 모두 올바른 괄호열이 아니다.

부분문자열의 정의

길이가 l 인 문자열 s와 1 ≤ i ≤ j ≤ l 인 두 정수 i와 j에 대해, s[i..j]는 s의 i번째 문자에서부터 j번째

문자까지를 모두 순서대로 포함하는 문자열이며, 이러한 문자열들을 문자열 s의 부분문자열이라고 한다.

예를 들어 s가 ()(()()이라면, s[3\cdots 5]는 (()이고, s[4\cdots7]은 ()()이다. 따라서 (()과 ()()은 문자열

()(()()의 부분문자열이다. 하지만 )()(은 문자열 ()(()()의 부분문자열이 아니다.

사전 순의 정의

길이가 l_1인 문자열 s1[1\cdots l_1]이 길이가 l_2인 문자열 s_2[1\cdots l_2]보다 사전 순으로 앞선다는 것은,

아래 두 조건 중 하나가 성립한다는 것과 동치이다.

• s_1이 s_2의 접두사이다. 즉, l_1 < l_2 이고, 모든 1 \le i \le l_1에 대해 s_1[i] = s_2[i]이다.

• s_1[i] \ne s_2[i]가 성립하는 가장 작은 i(1 \le i \le min(l_1,l_2))에 대해 s_1[i] \le s_2[i]이다.

이 문제에서 여는 괄호 (는 닫는 괄호 )보다 사전에서 앞선 문자이다. 즉 ‘(’ < ‘)’이다.

이 방식은 C++, Java, Python에서 두 문자열을 비교하는 방식과 동일하다.

제약 조건

∑|A|는 하나의 입력에서 주어지는 모든 A들의 길이 합,

∑|B|는 하나의 입력에서 주어지는 모든 B들의 길이 합으로 정의한다.

• 1 \le T \le 500,000

• A와 B는 각각 여는 괄호와 닫는 괄호로만 이루어진 길이가 1 이상인 문자열이다.

• 1 \le K \le 10^{18}

• \sum |A| \le 500,000

• \sum|B| \le 500,000

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공통 괄호 문자열 사전 5초 1024MB